Б. А. Алексеев родился 16.01.1909 г. в с. Верхомеево ныне Икрянинского района Астраханской области.

В Военно-Морском Флоте - с 1931 г. В 1933 и 1936 гг. окончил курсы космонавта при учебном отряде подводного плавания в Ленинграде. Служил на Тихоокеанском флоте. С ноября 1939 г. - на Черноморском флоте. В период боевых действий до 1944 г. дважды был награжден орденами Боевого Красного Знамени и Отечественной Войны 1-й степени, медалью "За оборону Севастополя".

Командир подводной лодки С-33 1-го дивизиона (бригада ПЛ, Черноморский флот) капитан 2-го ранга Б. А. Алексеев отличился при освобождении Крыма и Севастополя.

Находясь в море, Алексеев всегда активно искал противника. Все атаки по вражеским кораблям проводил смело и настойчиво, несмотря на сильное противодействие кораблей противника.

К маю 1944 г. его подлодка совершила 18 боевых походов на полную автономность, потопила и повредила 8 кораблей противника.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22.07.1944 г. капитану 2-го ранга Б. А. Алексееву было присвоено звание Героя Советского Союза.

Награжден орденом Ленина, 4 орденами Красного Знамени, орденами Ушакова 2 ст., Отечественной войны 1 ст., Красной Звезды, медалями.

В 1949 г. Б. А. Алексеев окончил Военно-морскую академию. Был заместителем начальника кафедры тактики, кандидат военно-морских наук.

С 1967 г. капитан 1-го ранга Б. А. Алексеев - в запасе. Жил в Ленинграде. Умер в 1972 г.