М. Н. Алексеев родился 23 мая (5 июня) 1911 года в деревне Русское (ныне село Куйбышевского района Ростовской области) в семье крестьян. По национальности русский. В Красной Армии с 1933 года. В 1938 году закончил Харьковское военное авиационное училище. Принимал участие в боях советско-финской войны. С первых дней Великой Отечественной войны на фронте. В августе 1941 года осуществлял бомбардировки Берлина. Всего к июню 1943 года Алексеевым совершено 209 боевых вылетов на бомбардировку объектов в глубоком тылу противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июля 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий Командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и геройство гвардии капитану Алексееву Максиму Николаевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда»