Анатолий Федорович родился 16 марта 1924 года в деревне Малые Ключи Куменского района в крестьянской семье. Русский. Окончил 7 классов Леденцовской школы и ФЗУ, работал в колхозе. В армию призван в августе 1942 года. Окончил полковую школу. На фронт попал в 1943 году. Был командиром орудия 1429-го легкого артиллерийского полка 49-й легкой артиллерийской бригады 16-й артиллерийской дивизии прорыва 7-й гвардейской армии (2-й Украинский фронт) Старший сержант А. Ф. Прокашев в ночь на 25 октября 1944 года успешно форсировал с орудием быстротечную речку Тисса в районе венгерского города Сольнок и в боях за плацдарм со своим расчетом подбил четыре танка и противотанковое орудие, два бронетранспортера, уничтожил большое количество солдат. 7 декабря того же года в бою под городом Асод расчет А. Ф. Прокашева самоотверженно отражал вражеские контратаки и перешел в наступление, в числе первых ворвавшись в городские кварталы. Бой за город был жестоким. Когда у артиллеристов кончились снаряды, они, вооружившись автоматами, действовали как пехота. В ходе боя на улицах города, временами переходившего в рукопашную схватку, Прокашев лично уничтожил значительное число солдат противника и взял в плен немецкого офицера. Звание Героя Советского Союза присвоено 28 апреля 1945 года. Награжден также орденами Ленина, Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды, медалями. Вернувшись с войны, работал в колхозе. Умер 29 февраля 1956 года.