Окончил школу-семилетку, учился в педагогическом училище. В 1938 году Спикин был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1940 году он окончил Тбилисское артиллерийское училище. К сентябрю 1943 года гвардии старший лейтенант Пётр Спикин командовал дивизионом 5-го гвардейского воздушно-десантного артиллерийского полка 10-й гвардейской воздушно-десантной дивизии 37-й армии Степного фронта. Отличился во время битвы за Днепр. В конце сентября 1943 года дивизион Спикина одним из первых в полку переправился через Днепр в районе села Переволочна (ныне — Светлогорское Кобелякского района Полтавской области Украины). 1-5 октября он успешно отражал вражеские контратаки. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 декабря 1943 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии старший лейтенант Пётр Спикин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».