Родился в 1918 году в крестьянской семье, проживавшей в деревне Селище Валдайского района на тот момент Ленинградской области.

Получив начальное образование, Алексей стал вместе со старшим братом Иваном и отцом работать в колхозе, помогая ему пахать землю и собирать урожай.

В ряды Советской Красной армии Алексей был призван 10 февраля 1940 г. Бологовский Райвоенкоматом.После распределения был приписан к 3 стрелковой роте 1161 стрелкового полка 351 стрелковой дивизии 9 армии Южного фронта, который с февраля 1943 года стал называться Северо-Кавказский фронт.

За отличные показатели в боевой дисциплине, а также за то, что в трудных боевых условиях под бесперебойным огнем противника всегда выполнял поставленные боевые задачи, в 1942 году был повышен в звании и получил воинское звание сержант.

26 сентября 1942 года в результате наступательных боев на реке Курка Краснодарского края связной ячейки управления 3 стрелковой роты 1161 стрелкового полка Басунов Алексей Яковлевич несмотря на сильный обстрел со стороны противника бесперебойно поддерживал живую связь командного пункта командира батальона с ротами, что дало возможность командиру батальона беспрерывно руководить полем боя. За это он был награжден медалью «За боевые заслуги».

15 сентября 1943 года в результате наступательных боев на восточной окраине хутора Калиновский Краснодарского края сержант Басунов Алексей Яковлевич был убит.

После взятия хутора Калиновский его вместе с другими погибшими, похоронили в братской могиле на местном кладбище. В 2014 году захоронение было перенесено в братскую могилу хутора Адагум Краснодарского края.